Naturalny świat fraktali
„Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka, ani błyskawice nie poruszają się po linii prostej”. – Benoit Mandelbrot, wprowadzenie do Fraktalnej geometrii natury.
Fraktale to nieskończenie złożone wzory, które są samopodobne w różnych skalach i rozmiarach. Fraktale to wzory utworzone z chaotycznych równań zawierających samopodobne wzory o złożoności wzrastającej wraz z powiększeniem. Jeśli podzielimy wzór fraktalny na części, otrzymamy niemal identyczną pomniejszoną kopię całości. Matematyczne piękno fraktali polega na tym, że nieskończoną złożoność tworzą stosunkowo proste równania. Poprzez iterację lub powtarzanie równań generujących fraktale wiele razy, losowe dane wyjściowe tworzą piękne wzory, które są unikalne, ale rozpoznawalne. W fraktalu matematycznym, takim jak słynny zbiór Mandelbrota, każdy wzór składa się z mniejszych kopii samego siebie, a te mniejsze kopie ponownie składają się z mniejszych kopii. Mogą być generowane przez komputer, który w kółko oblicza proste równanie.
„Gdybym chciał skonstruować fraktal, wziąłbym prostą zasadę, na przykład dodanie trzech małych trójkątów na krawędzi dużego trójkąta. Następnie reguła jest powtarzana raz za razem. ”— Frederi Viens
Samo podobieństwo może przejawiać się jako dokładne samo podobieństwo, które jest identyczne we wszystkich skalach; np. Płatek śniegu – podobieństwo, które przybliża ten sam wzór w różnych skalach, ale może zawierać małe kopie całego fraktala w zniekształconych i zdegenerowanych formach; Ja statystyczne – podobieństwo, stochastycznie powtarzający się wzorzec; Ja jakościowe – podobieństwo jak w szeregach czasowych i skalowanie multifraktalne. Fraktale mają wymiar ułamkowy lub fraktalny większy niż wymiar topologiczny, a Fraktale jako równania matematyczne nie są tam, gdzie różniczkowalne.
Czy fraktale są sekretem kojących naturalnych scen?
Natura jest pełna fraktali. Od muszli morskich i galaktyk spiralnych po strukturę ludzkich płuc, wzorce chaosu są wszędzie wokół nas. Te fraktale mają postać rozgałęzień i spiralnych wzorów. Drzewa, paprocie, neurony w mózgu, naczynia krwionośne w naszych płucach, błyskawice, rozgałęzienia rzek, a także linia brzegowa i formacje skalne to przykłady rozgałęzień fraktali. Spiralne fraktale można zobaczyć w muszli łodzika, wzory pogodowe, takie jak huragan, galaktyki spiralne, spirala szyszek sosny i słoneczniki.
Przykłady fraktali w przyrodzie:
Kwiaty, paprocie, liście, koryta rzeczne, błyskawice, płatki śniegu to tylko niektóre z przykładów fraktali występujących w przyrodzie. Romanesco Brokuły odmiana kalafiora to najlepsze warzywo fraktalne. Jego wzór jest naturalną reprezentacją Fibonacciego lub złotej spirali, spirali logarytmicznej, w której każda ćwierć obrotu jest dalej od początku o współczynnik phi, złoty podział. Ciąg Fibonacciego, powszechny i piękny wzór liczbowy w przyrodzie, tworzy Złoty podział.
Paprocie są częstym przykładem zestawu samopodobnego, co oznacza, że ich wzór można matematycznie wygenerować i odtworzyć przy dowolnym powiększeniu lub zmniejszeniu. Wzór matematyczny opisujący paprocie, nazwany na cześć Michaela Barnsleya, był jednym z pierwszych, który pokazał, że chaos jest z natury nieprzewidywalny, ale generalnie podlega deterministycznym regułom opartym na nieliniowych równaniach iteracyjnych. Innymi słowy, losowe liczby generowane w kółko za pomocą wzoru Barnsley’s Fern ostatecznie dają unikalny obiekt w kształcie paproci. Wiele roślin stosuje proste, rekurencyjne formuły w generowaniu kształtów rozgałęzień i wzorów liści.
Nasz fraktalny świat!
„Wszystkie odnogi cieku wodnego na każdym etapie jego biegu, jeśli są z jednakową szybkością, są równe korpusowi głównego nurtu”. – Leonardo da Vinci
Planeta Ziemia posiada fraktalne sieci rzeczne, które transportują opady z lądu do oceanów. Jak wszystkie fraktale, te złożone, samopodobne wzory powstają w wyniku powtarzania prostego procesu formowania kanałów w wyniku erozji. Sieć rzeczna zbiera ogromne ilości opadów z bardzo dużego obszaru lądowego i kondensuje je na niewielkim obszarze.
Błyskawica nie porusza się po liniach prostych, ale podąża chaotyczną i poszarpaną ścieżką. Błyskawica może być bardzo duża, rozciągająca się na kilka mil, ale powstaje w mikrosekundach. Grzmot to dźwięk fraktalny. Jest to spowodowane przegrzaniem powietrza. Ponieważ ścieżka błyskawicy jest postrzępionym fraktalem w przestrzeni 3D, czas potrzebny na dotarcie do naszych uszu jest różny, a zatem dźwięk, który słyszymy, jest wzorem fraktalnym.
Galaktyki są największymi znanymi przykładami spiralnych fraktali. Pojedyncza galaktyka spiralna może zawierać bilion gwiazd. Ramiona spiralne nie zawierają większej liczby gwiazd, ale mimo to ramiona spiralne są jaśniejsze, ponieważ zawierają wiele krótko żyjących, niezwykle jasnych gwiazd, utworzonych przez wirującą spiralną falę formowania się gwiazd. Fale formowania się gwiazd stają się widoczne, ponieważ zawierają wiele młodych i bardzo jasnych gwiazd, które żyją tylko przez krótki czas, być może 10 milionów lat, w porównaniu z bardziej powszechnymi gwiazdami, takimi jak nasze Słońce, które żyją kilka miliardów lat. Huragany lub cyklony to największe spirale na Ziemi. Królestwo roślin jest również pełne spiral, co widać w wielu kaktusach, kwiatach, owocach, szyszkach itp. Innym przykładem jest muszla łodzika, w której spirala tworzy się poprzez proste połączenie rotacji i ekspansji. (Liczby na tej stronie przedstawiają wzory występujące w naturze. W regularności zaćmień, rozmieszczeniu nasion w główce słonecznika lub spirali muszli Nautilusa, natura wykazuje okresowe wzory.)
Ta zasada dokładnie pasuje do rozmieszczenia elektronów w atomach, które powtarzają się okresowo, co powoduje okresowe powtarzanie wielu właściwości pierwiastków, a tym samym pozwala przewidzieć zachowanie fizyczne i chemiczne.
